高等代数选讲

Chapter 1 抽象线性空间理论

Definition 1

• 给定线性空间 $\mathcal{U, V}$, 用 $\mathcal{Hom}_{\mathbb{F}}\mathcal{(U, V)}$ 表示从 $\mathcal{U}$ 到 $\mathcal{V}$ 的线性映射的全体.
• 容易验证 $\mathcal{Hom}_{\mathbb{F}}\mathcal{(U, V)}$ 同时也是 $\mathbb{F}$ 上的线性空间.

Example 1

• $\mathcal{Hom}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ 表示全体 $m\times n$ 矩阵.

Property 1

• 对 $f\in\mathcal{Hom}_{\mathbb{F}}\mathcal{(U, V)}, g\in\mathcal{Hom}_{\mathbb{F}}\mathcal{(V, W)}$, 有 $g\circ f\in\mathcal{Hom}_{\mathbb{F}}\mathcal{(U, W)}$.

Definition 2

• 给定线性空间 $\mathcal{U, V}$, 若存在线性双射 $f:\mathcal{U}\rightarrow\mathcal{V}$, 则称 $\mathcal{U, V}$ 线性同构, 同构定义了一种等价关系.

Question 1

• 如何考虑以同构为基础的线性空间分类?
• 对 $n$ 维线性空间 $\mathcal{V}/\mathbb{F}$ 的一组基为 $e_1, \dots, e_n$, 考虑映射 $\sigma_{e_1,\dots, e_n}:\mathcal{V}\rightarrow\mathbb{F}^n, x\rightarrow (x_1, \dots, x_n)^T$.
  • 其中 $x=\sum_{i=1}^n{x_ie_i}=(e_1, \dots, e_n)(x_1, \dots, x_n)^T$, 此时 $\sigma_{e_1,\dots, e_n}$ 为 $\mathbb{F}$ 上的线性同构.

Definition 3

• 对于 $n$ 维线性空间 $\mathcal{V}$ 的两组基 $(e_1, \dots, e_n)$ 与 $(t_1, \dots, t_n)$,
  $(t_1, \dots, t_n)=(e_1, \dots, e_n)\left( \begin{matrix}
  t_{11}& \cdots& t_{1n}\\
  \vdots& & \vdots\\
  t_{n1}& \cdots& t_{nn}\\
  \end{matrix} \right) =(e_1, \dots, e_n)T$, 称 $T$ 为过渡矩阵.
• 对$\forall x\in\mathcal{V}$,
  • 若 $x=(e_1, \dots, e_n)(x_1, \dots, x_n)^T=(t_1, \dots, t_n)(y_1, \dots, y_n)^T$,
    那么有 $(x_1, \dots, x_n)^T=T(y_1, \dots, y_n)^T$, 这是由基的表示法的唯一性所决定的.

Definition 4

• $n$ 维线性空间 $\mathcal{U}/\mathbb{F}$, 其上一组基为 $(e_1, \dots, e_n)$;
• $m$ 维线性空间 $\mathcal{V}/\mathbb{F}$, 其上一组基为 $(i_1, \dots, i_m)$.
• 考虑从 $\mathcal{U}$ 到 $\mathcal{V}$ 的线性映射 $f$:
  • 由 $f(e_1)=(i_1, \dots, i_m)(F(\vec{e_1}))$, 进而有
  • $(f(e_1), \dots, f(e_n))=(i_1, \dots, i_m)(F(\vec{e_1}), \dots, F(\vec{e_n}))=(i_1, \dots, i_m)F$.
• 称 $F$ 为基 $e_1,\dots, e_n, i_1, \dots, i_m$ 下的表示矩阵.

Tip 1

• $\mathcal{Hom}_{\mathbb{F}}\mathcal{(U, V)}\xrightarrow{\sigma_{e_1,\dots, e_n, i_1, \dots, i_m}}\mathbb{F}^{m\times n}$ 是一个同构映射.

Tip 2

• 表示矩阵相乘表示基底相传递.

Question 2

• 线性映射在不同基下的表示矩阵如何变化?
  • $\mathcal{U}:(t_1, \dots, t_n)=(e_1, \dots, e_n)T$,
  • $\mathcal{V}:(s_1, \dots, s_m)=(i_1, \dots, i_m)S$,
  • 线性映射 $f:\mathcal{U}\rightarrow\mathcal{V}$.
• 记 $\sigma_{e_1,\dots, e_n, i_1, \dots, i_m}(f) = F$, 则 $\sigma_{t_1,\dots, t_n, s_1, \dots, s_m}(f) = S^{-1}FT$.

Tip 3

• $\mathcal{U}:(q_1, \dots, q_n)=(e_1, \dots, e_n)Q$,
  • 其中 $(q_1, \dots, q_n), (e_1, \dots, e_n)$ 是 $\mathcal{U}$ 的两组标准正交基,
  • 线性映射 $f:\mathcal{U}\rightarrow\mathcal{U}$.
• 记 $\sigma_{e_1,\dots, e_n}(f) = F$, 则 $\sigma_{q_1,\dots, q_n}(f) = Q^{-1}FQ = Q^TFQ$.
• 这也就是说：
  • $n$ 阶方阵 $A, B$ 正交相似 $\Longleftrightarrow A, B$ 是 $n$ 维线性空间某个线性变换在两组标准正交基下的矩阵.

Chapter 2 欧氏空间

Definition 1

• 给定线性空间 $\mathcal{V}/\mathbb{R}$, $\left<\cdot, \cdot\right>:\mathcal{V}\times\mathcal{V}\rightarrow\mathbb{R}$, 满足 $\forall a,b\in\mathcal{V}$, 有
  • $a)$ 对称性: $\left = \left$;
  • $b)$ 双线性性: $\left = k_1\left + k_2\left$;
  • $c)$ 正定性: $\left \ge 0$, 取等当且仅当 $a = 0$.
• 则称二元函数是 $\mathcal{V}$ 上的一个内积, 具有内积的线性空间称为一个实内积空间,或欧氏空间.

Example 1

• $\mathbb{R}^n\quad \left = a^Tb$ 是 $\mathbb{R}^n$上的标准内积.
• 现在考虑一般的情况 $\left = a^TAb$, 其中 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$.
  • 为了满足对称性 $\left = a^TAb = \left = b^TAa = a^TA^Tb$, 需要 $A$ 对称;
  • 为了满足正定性 $\left = a^TAa \ge 0$, 需要 $A$ 正定;
• 此时双线性性是显然满足的;
• 所以只要 $A$ 对称正定, $\mathbb{R}^n$ 上的二元函数 $\left(a, b\right)\rightarrow a^TAb$ 是内积.

Example 2

• $\mathbb{R}^{m\times n}\quad \left = trace(B^TA)$ 是 $\mathbb{R}^{m\times n}$ 上的标准内积.

Example 3

• $\mathcal{C}\left[a, b\right]\quad \left = \int_a^b{f\left( x \right) g\left( x \right) dx}$ 是 $\mathcal{C}\left[a, b\right]$ 上的标准内积.

Definition 2

• 定义向量的长度 $\left| a \right|=\sqrt{\left}$, 对 $a\in\mathcal{V}$;
• 定义向量间的距离为 $\left| a-b \right|$, 对 $a, b\in\mathcal{V}$.

Property 1

• $(Cauchy-Schwarz\ Inequality)$

  $\left| \left< a, b \right> \right|$ ≤ $\left| a \right| \cdot \left| b \right| $.

Property 2

• $(Triangular\ Inequality)$

  $\left| a+b \right|$ ≤ $\left| a \right| + \left| b \right| $.

Definition 3

• 在 $n$ 维欧氏空间 $\mathcal{V}$ 中, 由 $n$ 个向量组成的正交向量组称为 $\mathcal{V}$ 的一组正交基.
• 特别地,当这 $n$ 个向量均为单位向量时,称它们构成欧氏空间 $\mathcal{V}$ 的一组标准正交基.

Question 1

• $\mathbb{R}^{m\times n}$上的一组标准正交基是什么?
• 是 $E_{ij}(1 \le i \le m, 1 \le j \le n)$, 其中 $E_{ij}$ 表示第 $i$ 行, 第 $j$ 列元素为1, 其余元素均为0的 $m\times n$ 矩阵.

Question 2

• $Gram Schmidt$ 正交化方法如何推广到欧氏空间?
• $(a_1, \dots, a_r) = (q_1, \dots, q_r)R$, $R$ 为上三角阵.

Example 4

• 定义 $\left = \int_{-1}^{1}{f\left( x \right) g\left( x \right) dx}$ 是 $\mathbb{R}\left[x\right]$ 上的标准内积,
• 对 $1, x, x^2, \dots$ 这组基进行 $Gram Schmidt$ 正交化(这里 $\mathbb{R}\left[x\right]$ 指实数域 $\mathbb{R}$ 上的多项式空间).
• 这里不妨考虑简单情形, 对 $q_1=1, q_2=x, q_3=x^2$ 进行 $Gram Schmidt$ 正交化, 得到 $\tilde{q}_1=1, \tilde{q}_2=x, \tilde{q}_3=x^2 - \frac{1}{3}$.

Tips

• 基扩充定理可以直接推广至欧氏空间, i.e.有限维欧氏空间中任意正交向量组可以扩充为一组相应的正交基.

Question 3

• 如何利用坐标计算内积?
• 欧氏空间 $\mathcal{V}$ 一组基底为 $a_1,a_2,\dots,a_n$, $x,y\in\mathcal{V}$, 在这组基下的坐标分别为 $(x_1,\dots,x_n)^T, (y_1,\dots,y_n)^T$,
  • $\left = \left<\sum_{i = 1}^n{a_ix_i}, \sum_{j = 1}^n{a_jy_j}\right> =
    \sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^n x_iy_j\left = {\hat{x}}^TG\hat{y},$
• 其中 $G$ 称为内积在基 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 下的 $Gram$ 矩阵, $\hat{x}$, $\hat{y}$ 称为 $x, y$ 在这组基下的坐标.

Question 4

• 当基改变时, 度量矩阵如何改变?
  • $x = (e_1, \dots, e_n)\hat{x} = (t_1, \dots, t_n)\tilde{x}$,
  • $y = (e_1, \dots, e_n)\hat{y} = (t_1, \dots, t_n)\tilde{y}$,
• 设内积在基 $(e_1, \dots, e_n)$ 下的 $Gram$ 矩阵为 $G$, 在基 $(t_1, \dots, t_n)$ 下的 $Gram$ 矩阵为 $\tilde{G}$, 容易得到

$$\begin{aligned} \tilde{x}^T\tilde{G}\tilde{y} &= \left<(t_1, \dots, t_n)\tilde{x}, (t_1, \dots, t_n)\tilde{y}\right> \\ &= \left<(e_1, \dots, e_n)\hat{x}, (e_1, \dots, e_n)\hat{y}\right> \\ &= \left<(e_1, \dots, e_n)(T\tilde{x}), (e_1, \dots, e_n)(T\tilde{y})\right> \\ &= (T\tilde{x})^TG(T\tilde{y}) \\ &= \tilde{x}^T(T^TGT)\tilde{y} \end{aligned}, \forall\tilde{x}, \tilde{y},$$

• 其中 $(t_1, \dots, t_n) = (e_1, \dots, e_n)T$.

Property 3

• $\mathcal{V}$ 为欧氏空间, $\left(e_1, \dots, e_n\right)$ 为标准正交基, $T$ 为 $n$ 阶方阵, $(t_1, \dots, t_n) = (e_1, \dots, e_n) T$, 则
  • $(t_1, \dots, t_n)$ 为一组标准正交基 $\Longleftrightarrow T$ 是正交阵.

Definition 4

• 对欧氏空间 $\mathcal{V}$ 与 $\mathcal{U}$, 如果 $\mathcal{U}\subset\mathcal{V}$, 则称 $\mathcal{U}$ 为 $\mathcal{V}$ 的子空间.

Definition 5

• $\mathcal{M}$ 是欧氏空间 $\mathcal{V}$ 的子欧氏空间, 称 ${\mathcal{M}}^{\bot} = \left\{a \in \mathcal{V} \mid \left = 0, \forall b \in \mathcal{V}\right\}$ 为其正交补.

Property 4

• $\mathcal{M}^{\bot}$ 是欧氏空间 $\mathcal{V}$ 的子空间.

Question 5

• $\mathcal{M, N}$ 是 $\mathcal{V}$ 的子空间, 是否存在同时包含 $\mathcal{M, N}$ 的属于 $\mathcal{V}$ 的最小子空间?
• 考虑 $\left\{m + n\mid m\in\mathcal{M}, n\in\mathcal{N}\right\}$, 称为 $M$ 和 $N$ 的和, 记作 $\mathcal{M}+\mathcal{N}$, 它满足所需要求.

Property 5

• $$\begin{equation} \mathcal{M}\cap \mathcal{M}^{\bot} = \varnothing \end{equation}$$

$$\begin{equation} \mathcal{M} + \mathcal{M}^{\bot} = \mathcal{V} \end{equation}$$

• 设 $\mathcal{M}$ 的一组正交基为 $q_1, \dots, q_r$, 根据基扩充定理, 可扩充 $q_{r+1}, \dots, q_n$,
  使得 $(q_1, q_2, \dots, q_n)$ 构成 $\mathcal{V}$ 的一组正交基, 那么 ${\mathcal{M}}^{\bot}$ 的一组正交基即为 $q_{r+1}, \dots, q_n$.

Property 6

• $dim(\mathcal{M})+dim(\mathcal{M}^{\bot})=dim(\mathcal{V})$.
• $(\mathcal{M}^{\bot})^{\bot} = \mathcal{M}$.

Chapter 3 欧氏空间上的线性映射

Definition 1

• 给定欧氏空间 $\left(\mathcal{U}, \left< \cdot, \cdot\right>_{\mathcal{U}}\right)$, $\left(\mathcal{V}, \left< \cdot, \cdot\right>_{\mathcal{V}}\right)$, $f\in\mathscr{Hom}\mathcal{(U, V)}, g\in\mathscr{Hom}\mathcal{(V, U)}$,
• 使得 $\forall x\in\mathcal{U},y\in\mathcal{V}$, 有$\left<f(x),y\right>_{\mathcal{V}}=\left<x,g(y)\right>_{\mathcal{U}},$
  则称 $g$ 为 $f$ 的共轭映射或伴随映射, $g=f^*$.

Property 1

• $\left(f^\right)^=f$.
  • $\forall x\in\mathcal{U},y\in\mathcal{V}$,
    有 $\left<(f^)^(x),y\right>_{\mathcal{V}}=\left_{\mathcal{V}}=\left_{\mathcal{U}}=\left_{\mathcal{U}}=\left_{\mathcal{V}}$,
    从而 $\left<(f^)^(x)-f(x),y\right>_{\mathcal{V}}=0$, $\forall x\in\mathcal{U},y\in\mathcal{V}$.
    故 $(f^)^(x)-f(x)=0$, $\forall x\in\mathcal{U}$.
    进而有 $\left(f^\right)^=f$ 成立.

Property 2

• $(g\circ f)^=f^\circ g^*$.

Question 1

• 如何从矩阵的角度理解伴随映射?
  • $1)$ 基本情形: 考虑 $\mathcal{U}=\mathbb{R}^n, \mathcal{V}=\mathbb{R}^m$ 及其上的标准内积, $$f\in\mathcal{Hom}\mathcal{(U, V)}\xrightarrow{\quad\quad\quad\quad}A\in\mathbb{R}^{m\times n}, x\rightarrow Ax, x\in\mathbb{R}^n;$$ $$f^*\in\mathcal{Hom}\mathcal{(V, U)}\xrightarrow{\quad\quad\quad\quad}B\in\mathbb{R}^{n\times m}, y\rightarrow By, y\in\mathbb{R}^n.$$ $\forall x\in\mathbb{R}^n, y\in\mathbb{R}^m$,
    有 $y^TAx=\left=\left=\left=\left=y^TB^Tx$,
    进而 $A=B^T$ 成立.
  • $2)$ 一般情形: 假定 $\mathcal{U},\mathcal{V}$ 的一组标准正交基分别为 $$u_1, u_2, \dots, u_n, v_1, v_2, \dots, v_m.$$ 考虑 $\left<(f(u_i),v_j\right>_{\mathcal{V}}=\left_{\mathcal{U}}, \forall 1\le i\le n, 1\le j\le m$.
    其中:
    $LHS=\left<(v_1, \dots, v_m)(f_{1i}, \dots, f_{mi})^T, v_j\right>_{\mathcal{V}}=\left<\sum_{k=1}^mv_kf_{ki},v_j\right>_{\mathcal{V}}=f_{ji}$,
    $RHS=\left_{\mathcal{U}}=\left_{\mathcal{V}}=g_{ij}$,
    因此 $\forall 1\le i\le n, 1\le j\le m, f_{ji}=g_{ij}$ 成立. 即 $F=G^T$.

Definition 2

• 给定欧氏空间 $\left(\mathcal{U}, \left< \cdot, \cdot\right>\right)$, $f\in\mathcal{Hom}\mathcal{(U, U)}$, 若 $\forall x,y\in\mathcal{U}$, 有$\left<f(x),y\right>=\left<x,f(y)\right>,$
  则称 $f$ 为 $\mathcal{U}$ 上的一个自伴变换(对称变换).

Property 3

• $f\in\mathcal{Hom}\mathcal{(U, U)}$, $dim\mathcal{U}=n$.
  • $1)$ $f$ 为对称变换 $\Longleftrightarrow$ $f=f^*$;
  • $2)$ $f$ 为对称变换 $\Longleftrightarrow$ $f$ 在任意标准正交基下的矩阵都是对称矩阵.
• Proof:
  • $1)$ $\Longleftarrow:$ $\left=\left=\left$;
    $\quad\Longrightarrow: f^(y)=\sum\limits_{i=1}^n\left<v_i, f^(y)\right>v_i =\sum\limits_{i=1}^n\leftv_i =\sum\limits_{i=1}^n\leftv_i=f(y)$, $\forall y\in\mathcal{U}$, 故 $f=f^*$.
  • $2)$ $\Longleftarrow:$ 设 $f$ 在标准正交基下的矩阵为 $A$, 则 $f$ 对称 $\Longrightarrow$ $f=f^*$ $\Longrightarrow$ $A=A^T$ $\Longrightarrow$ $A$ 对称.
    $\quad\Longrightarrow:$ 在 $Chapter 1$ 中已经证明.

Example 1

• $\mathbb{R}^{n\times n}\quad \left = trace(B^TA)$ 是 $\mathbb{R}^{n\times n}$ 上的标准内积. $$f:\mathbb{R}^{n\times n}\rightarrow\mathbb{R}^{n\times n}\quad A\rightarrow A^T.$$
• 考虑 $\left=trace(B^TA^T)=trace(AB)=trace(BA)$,
  则 $\left=trace(f^(B)^TA)$, 那么 $f^=f$.

Example 2

• $\mathcal{C}_T^\infty(\mathbb{R})=\left\{f\in\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R})\mid f(x)=f(x+T),\forall x\in\mathbb{R}\right\}$
• $\left = \int_a^b{f\left(x\right) g\left( x \right) dx}$ 是 $\mathcal{C}\left[a, b\right]$ 上的标准内积. $$D:\mathcal{C}_T^\infty(\mathbb{R})\rightarrow\mathcal{C}_T^\infty(\mathbb{R})\quad f\rightarrow f'.$$
• 由 $\left=\int_0^Tf’(x)g(x)dx=\int_0^Tg(x)df(x)=fg|_0^T-\int_0^Tf(x)g’(x)dx=-\int_0^Tf(x)g’(x)dx=\left$, 那么 $d^*=-D$.

Definition 3

• 给定欧氏空间 $\left(\mathcal{U}, \left< \cdot, \cdot\right>\right)$, $f\in\mathcal{Hom}\mathcal{(U, U)}$, 若 $\forall x,y\in\mathcal{U}$, 有$\left<f(x),f(y)\right>=\left<x,y\right>,$
  则称 $f$ 为 $\mathcal{U}$ 上的一个正交变换.

Property 4

• $f\in\mathcal{Hom}\mathcal{(U, U)}$, 以下命题等价:
  • $1)$ $f$ 为正交变换;
  • $2)$ $f$ 为保距变换;
  • $3)$ $f$ 把 $\mathcal{U}$ 的一组标准正交基映为另一组标准正交基.

Property 5

• $f\in\mathcal{Hom}\mathcal{(U, U)}$.
  • $1)$ $f$ 为正交变换 $\Longleftrightarrow$ $f\circ f^=f^\circ f=id_{\mathcal{U}}$;
  • $2)$ $f$ 为保距变换 $\Longleftrightarrow$ $f$ 在任意标准正交基下的矩阵都是正交矩阵.

Property 6

• $Q$ 为实正交矩阵, $\lambda\in\mathbb{C}$ 是 $Q$ 的特征值 $\Longrightarrow$ $|\lambda|=1$.

Property 7

• $Q$ 为 $n$ 阶正交矩阵, 存在 $n$ 阶正交矩阵 $X$, $\lambda\in\mathbb{C}$ 是 $Q$ 的特征值 $\Longrightarrow$ $|\lambda|=1$.
• 其中 $\theta_{i}$ 不是平角的倍数, $J$ 称为 $Q$ 的实相似标准型.

Tip 1

• 给定 $n$ 维欧氏空间 $\mathcal{V}$ 及其上的正交变换 $f:\mathcal{V}\rightarrow\mathcal{V}$, 都存在着 $\mathcal{V}$ 的一组标准正交基, 使得 $f$ 在该组基下的矩阵形如Property 7中的 $J$.

Tip 2

• 任意 $n$ 阶正交矩阵 $Q$ 都可以分解为不超过 $n$ 个反射矩阵的乘积.

Chapter 4 酉空间

Question 1

• 能否在复向量空间 $\mathcal{V}$ 上定义内积?
• 注意到如果不对内积的定义进行修改, 考虑内积 $\left$, 那么正定性与双线性性是彼此矛盾的.

Definition 1

• 给定线性空间$\mathcal{V}/\mathbb{C}$, $\left<\cdot, \cdot\right>:\mathcal{V}\times\mathcal{V}\rightarrow\mathbb{C}$, 满足$\forall a,b\in\mathcal{V}$, 有
  • $a)$ 共轭对称性: $\left = \overline{\left}$;
  • $b)$ 线性性和共轭线性性: $\left = k_1\left + k_2\left$;
    $\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\left = \overline{k_1}\left + \overline{k_2}\left$;
  • $c)$ 正定性: $\left \ge 0$, 取等当且仅当 $a = 0$.
• 则称二元函数是 $\mathcal{V}$ 上的一个内积, $\mathcal{V}$ 是一个酉空间.

Example 1

• $\mathbb{C}^n\quad \left = \overline{b}^Ta$ 是 $\mathbb{C}^n$上的标准内积.
  $D$ 是对角元素均为正的对角阵, $\left = \overline{b}^TDa$.

Example 2

• $\mathbb{C}^{m\times n}\quad \left = trace(\overline{B}^TA)$ 是 $\mathbb{C}^{m\times n}$ 上的标准内积.

Property 1

• $(Cauchy-Schwarz\ Inequality)$

  $\left| \left \right|$ ≤ $\left| a \right|\cdot \left| b \right| $.

• 等号成立当且仅当 $a, b$ 共线, 其中 $a, b\in$ 酉空间 $\mathcal{V}$.

Definition 2

• 给定酉空间 $\left(\mathcal{V}, \left< \cdot, \cdot\right>_{\mathcal{V}}\right)$, $f, g\in\mathcal{Hom}\mathcal{(V, V)}$, 使得 $\forall x, y\in\mathcal{V}$, 有$\left<f(x),y\right>=\left<x,g(y)\right>,$
• 则称 $g$ 为 $f$ 的共轭映射或伴随映射, $g=f^*$.

Question 2

• 如何从矩阵的角度理解伴随映射?
  • $1)$ 基本情形: 考虑 $\mathcal{U}=\mathbb{C}^n, \mathcal{V}=\mathbb{C}^m$ 及其上的标准内积, $$f\in\mathcal{Hom}\mathcal{(U, V)}\xrightarrow{\quad\quad\quad\quad}A\in\mathbb{C}^{m\times n}, x\rightarrow Ax, x\in\mathbb{R}^n;$$ $$f^*\in\mathcal{Hom}\mathcal{(V, U)}\xrightarrow{\quad\quad\quad\quad}B\in\mathbb{C}^{n\times m}, y\rightarrow By, y\in\mathbb{R}^n.$$ $\forall x\in\mathbb{R}^n, y\in\mathbb{R}^m$, 有 $\overline{y}^TAx=\left=\left=\left=\left=\overline{y}^T\overline{B}^Tx$,
    进而 $A=\overline{B}^T, B=\overline{A}^T:=A^H$ 成立.
  • $2)$ 一般情形: 假定 $\mathcal{U},\mathcal{V}$ 的一组标准正交基分别为 $$u_1, u_2, \dots, u_n, v_1, v_2, \dots, v_m.$$ 设 $f:\mathcal{U}\rightarrow\mathcal{V}$ 在两组基下表示矩阵为 $F$, 则 $f^*:\mathcal{V}\rightarrow\mathcal{U}$ 的表示矩阵为 $F^H$.

Definition 2

• 给定酉空间 $\mathcal{V}$, 其上的变换 $f\in\mathcal{Hom}\mathcal{(V, V)}$ 以及相应的矩阵 $A$. 使得 $\forall x, y\in\mathcal{V}$, 有
  • $a)$ (自伴变换) $\left=\left \leftrightarrow f=f^* \leftrightarrow A=A^H$;
  • $b)$ (酉变换) $\left=\left \leftrightarrow ff^=f^f=id_{\mathcal{V}} \leftrightarrow AA^H=A^HA=I$;
  • $c)$ (正规变换) $ff^=f^f \leftrightarrow AA^H=A^HA$.

Property 2

• $\mathcal{V}$ 为酉空间, $\left(e_1, \dots, e_n\right)$ 为标准正交基, $U$ 为 $n$ 阶方阵, $(u_1, \dots, u_n) = (e_1, \dots, e_n) U$, 则
  $(u_1, \dots, u_n)$为一组标准正交基 $\Longleftrightarrow U$ 是酉矩阵 $\Longleftrightarrow U$ 的列向量是 $\mathbb{C}^n$ 的标准正交基.

Property 3

• 酉空间 $\mathcal{V}:(u_1, \dots, u_n)=(e_1, \dots, e_n)U$, 其中 $(u_1, \dots, u_n), (e_1, \dots, e_n)$ 是 $\mathcal{V}$ 的标准正交基.
• 线性映射 $f:\mathcal{V}\rightarrow\mathcal{V}$, 记 $\sigma_{e_1,\dots, e_n}(f) = F$, 则 $\sigma_{u_1,\dots, u_n}(f) = U^{-1}FU = U^HFU$.

Tip 1

• $A, B$ 为复矩阵, 若存在酉矩阵 $U$, 使得 $U^HAU=B$, 则称 $A, B$ 酉相似.

Definition 3

• 对任意 $n$ 阶方阵 $A$, 存在酉矩阵 $U$, 使得 $U^HAU=T$, $T$ 为上三角矩阵, 且对角元为 $A$ 的特征值.
• 通过选取 $U$, 可以将 $T$ 的对角元实现任意顺序排列.

Property 3

• $Hermite$ 矩阵的特征值都是实数.
• 酉矩阵的特征值都是模长为1的复数.