代数一隅

Problem:

正项数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{n}{a_n}+1$. 求证: $\exists\thinspace k\in N$, 对 $\forall\thinspace n>k$, 有 $a_{n+2}>a_n$.

Proof:

$$a_2=\frac{1}{a_1}+1>1,$$ $$a_3=\frac{2}{a_2}+1\in(1, 3),$$ $$a_4=\frac{3}{a_3}+1\in(2, 4),$$ $$a_5=\frac{4}{a_4}+1\in(2, 3),$$ $$a_6=\frac{5}{a_5}+1\in(\frac{8}{3}, \frac{7}{2}).$$

下证: 当 $n\ge 6$ 时, $\sqrt{n}<a_n<\sqrt{n+1}+1.$

$(1)$ 当 $n=6$ 时, 显然有 $\sqrt{6}<\frac{8}{3}<a_6<\frac{7}{2}<\sqrt{7}+1$ 成立.

$(2)$ 假设命题对 $n$ 成立,

那么 $a_{n+1}<\frac{n}{\sqrt{n}}+1=\sqrt{n}+1<\sqrt{n+2}+1$,

且 $a_{n+1}>\frac{n}{\sqrt{n+1}+1}+1=\sqrt{n+1}$.

由$(1), (2)$可知,

$$\mbox{当}\thinspace n\ge 6\thinspace\mbox{时}, \sqrt{n}<a_n<\sqrt{n+1}+1.$$

从而 $(a_n-1)^2<n+1,$ 即 $a_n^2-2a_n-n<0, \forall\thinspace n\ge 6.$

当 $n \ge 6$ 时, 有

$$a_{n+2}=\frac{n+1}{\frac{n}{a_n}+1}+1>a_n\mbox{成立}.$$