Problem:
在$\triangle ABC$中, $\angle BAC$的平分线与$\triangle ABC$的外接圆的另一交点为$D$, $M$是$BC$的中点, $P$是过点$M$且垂直于$AD$的直线上一点, 过点$P$且垂直于$PD$的直线与直线$AB, AC$分别交于$E, F$. 求证: $P$是$EF$的中点.
Proof:
由点$D$向边$AB, AC$作垂线, 垂足分别为$G, H$. 连接$DE, DF$.
因为点$D$在$\triangle ABC$的外接圆上, 且$DG\perp AB, DH\perp AC, DM\perp BC$，
故由$Simson$定理, 知$G, H, M$三点共线.
又因$AD$平分$\angle BAC$， 故$DG=DH$, 且$GH\perp AD$, 结合$MP\perp AD$，
知$G, H, M, P$四点共线.
那么由$\angle DPE=\angle DGE=90^\circ$, 知$P, D, E, G$四点共圆,
同理知$P, D, F, H$四点共圆.
那么
知
那么$DE=DF$. 又$DP\perp EF$, 故$P$为线段$EF$中点.
