全国高中数学联合竞赛一试模拟试题
一、填空题
1. 若点$P(x, y)$在直线$x+3y-3=0$上移动, 则函数$f(x, y)=3^x+9^y$的最小值为$\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}.$
2. 已知方程$x^2+(4+i)x+4+ai=0 ($其中$a\in\mathbb{R})$有实根$b$, 且$z=a+b i$, 那么复数$z=\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}.$
3. 若实数$x, y$满足$\tan x=x, \tan y=y$, 且$|x|\ne |y|$, 则$\frac{\sin (x+y)}{x+y}-\frac{\sin (x-y)}{x-y}$的值为$\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}.$
4. $\sum_{k=1}^{2022} \left[\sqrt[4]{\frac{2022}{k}}\right]$的值为$\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}.$
5. 在数列${\left\{a_n\right\}}$中, $a_n=\frac{1}{(\sqrt{n-1}+\sqrt{n})(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})(\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1})}$, 则数列$\left\{ a_n \right\}$前2022项的和为$\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}.$
6. 过四面体$ABCD$的顶点$D$作半径为1的球, 该球与四面体$ABCD$的外接球切于点$D$, 且与面$ABC$相切.
若$AD=2\sqrt{3}, \angle BAD=\angle CAD=45^\circ, \angle BAC=60^\circ$, 则四面体的外接球半径$r$为$\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}.$
7. 已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左顶点为$A$, 右焦点为$F$. 设$P$为第一象限中双曲线上的任意一点, 若总有$\angle PFA=2\angle FAP$, 则双曲线的离心率为$\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}.$
8. 正整数集合$A_k$的最小元素为1, 最大元素为2022, 并且各元素可以从小到大排成一个公差为$k$的等差数列, 则并集$A_{43}\cup A_{47}$中的元素个数为$\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}\underline{}.$
二、解答题
9. 已知实数$x, y$都在区间$(-2, 2)$内, 且$xy=-1$, 常数$a\in (2, 8)$, 求函数$f(x, y)=\frac{4}{4-x^2}+\frac{a^2}{a^2-y^2}$的最小值.
10. 椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_1$、$F_2$, 右顶点为$A$, $P$为椭圆上任意一点, 已知$\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2}$的最大值为3, 最小值为2.
(1)求椭圆$C$的方程.
(2)若直线$l:y=kx+m$与椭圆$C$相交于$M, N$两点$(M, N$不是左、右顶点$)$, 且以$MN$为直径的圆过点A, 求证: 直线$l$过顶点, 并求出该定点的坐标.
11. 在等腰$\triangle ABC$中, $AB=AC$. 设$X, Y$分别在边$BC, CA$上, 且$XY//AB$. 记$\triangle CXY$的外心为$D$, $BY$的中点为$E$. 求证:$\angle AED=90^\circ.$
